BPSK 변조에서 AGWN(Eb/No)노이즈에 의한 BER 이론 계산

http://www.ijsrp.org/research-paper-0518/ijsrp-p7719.pdf

BPSK modem paper

 

OSNR BER 관련 ppt.pdf

https://optiwave.com/wp-content/uploads/2015/10/TC-Optical-Signal-to-Noise-Ratio-OSNR.pdf?51da48 

 

Bit Error Rate (BER) for BPSK modulation

http://www.dsplog.com/2007/08/05/bit-error-probability-for-bpsk-modulation/

 

BPSK 변조에서 신호의 에너지 계산: 연속 및 이산의 경우

BPSK 신호가 "0"과 "1"로 구성되므로 이들에 대해서 물리적인 의미의 에너지 개념 부여가 이상할 수 있지만 이들이 0V 가 아닌 전압 신호로 변환된다면 아울러 통신선이 임피던스 저항값을 가진다면 에너지 계산이 가능할 것이다. 이 에너지 값은 그 크기가 유한하여 적분이나 시그마(Σ)에 의한 합산이 가능하다.

참고로 통신 변조에서 대체로 0V 사용을 피하는 경향이 있음에 유의하자.

파워계산에서 N 이 큰 값을 가질때 (2N+1) 로 나누는 것은 파워를 계산하기 위해 에너지 E 를 시간 구간으로 나눔에 해당한다.

 

BPSK변조 신호가 전송될 때 이 신호의 최대 진폭을 고려해 보자. 에너지 E 의 정의에 따르면 신호 x[n]의 제곱의 시그마 합으로 주어진다. 이 때 최대 진폭은

가 될 것이다. 

여기에 가해지는 AWGN 노이즈 N0를 합산하여 전달이 되면 복조(demodulation)가 일어나게 된다. 노이즈 N0는 파워에 해당한다.  따라서 이 단계에서 Eb/N0 비율이 중요한 파라메터가 되는 것이고 아울러 Gaussian 학률분포로 가정했으므로 수신부에서 확률적 기대값들을 계산해 볼 수 있다. Gaussian Noise Distribution 은 통신의 선구자였던 Shannon 시절 1948년  이전부터 단순한 수학 이론이 아니라 현실적내지는 과학적으로 적용되어 왔던 개념임에 유의하자.

coherent 수신기에 들어오는 신호 y 는 전송신호 s1 또는 s2에 Gaussian 노이즈 N을 합한 신호파형이 복조(demodulation)을 위해 입력된다. 

Gaussian  노이즈는 신호 y의 평균값과 분산을 사용하여다음과 같이 모델링 된다. 

여기서 평균값과 No는 다음과 같이 설정한다. N0와 분산에 대한 관계식은 단순한 수학적 편의를 위해 설정되었다고 보면 된다. 이 BPSK 통신분야에서 이루어지는 실험이 아닌 대부분의 시뮬레이션에서는 정확한 No값을 몰라도 별 문제가 없음에 유의한다. 실제 시뮬레이션 코드에서도 Eb/No 비율의 임의적인 모델링 즉 -4, -2, 0, 2, 4, 6,9 dB  와 같이 처리하여 그 상대적인 차이점을 분석허게 되는 것이다.

상기의 관계를 대입하면 다음 식들이 얻어진다.

변조 후 전송된 데이터는 다음과 같이 Gaussian 노이즈를 타게 된다.

 

            비트 데이터  "1"이 전송된 경우 y = s1 + n

            비트 데이터  "0"이 전송된 경우 y = s0 + n

 

아래 그림에서 처럼 비트 데이터  "1"이 전송된 경우의 신호 y의 파형 진폭은 s1 점을 중심으로 정규분포를 하게되며 마찬가지로 비트 데이터  "0"이 전송된 경우의 신호 y의 파형 진폭은도 s0 점을 중심으로 정규분포를 하게된다. 이 2개의 확률분포는 대칭적이다.

 

전송되는 신호 s1과 s0 의 구성 비율이 이론적으로 거의 동률 즉 p(s1)=p(s0)=(1/2)이라고 가정하자. (이는 단순한 가정일뿐이며 실제 인위적인 전송에서는 특정한 비율 값을 가질수도 있을 것이다.) 

만약 수신기에 수신된 신호가 0V 이상이라면 s1 이 수신되었다고 가정하고 반대로 수신 신호가 0V 이하라면 s0가 수신되었다고 가정하면 0V 는 2종류의 신호 s1과 s0 를 구분짓는 임계치(threshold) 로 둘 수 있다. 따라서 s1 의 경우에 확률적으로 0V 이하가 되는 분포로서 위 그림의 청색에 해당하는 부분도 있을 수 있는데 이는 에러라고 보아야 할 것이다. 마찬가지로 녹색 부분은 s0 신호의 에러라고 볼 수 있다. 이들을 평가해 보면 대칭성으로 인해 다음과 같이 동일한 결과를 주게된다.

이 조건부 확률분포를 사용하여 이론적으로 전체 에러 p(e) 즉 probability of Bit Error Ratio(BER)를 계산해 보자.

아래 그래 사례를 보면 (Eb/No) 변수 가로축이 dB 단위로 되어 있다. 

 한편 파이선 코드에서 (Eb/No)에 해당하는 EbN0dB 값이 -4,-2, 0,2,4,6,8 dB 로 생성된다. 

이 값들을 erfc( ) 에 입력하기 위해서 다음과 같이 파라메터 값을 계산해서 입력하도록 하자.

 

아래의 결과는 실제 시뮬레이션 계산 사례이다. 코드 실행 시 마다 값이 변경될 수 있음에 유의하자.