|00>, |10>, |01>, |11> ket vector:Tensor Product ⊗ 에 의한 유도연산

 

양자 컴퓨팅 II: 전자의 스핀과 양자 역학적 중첩상태

https://ejleep1.tistory.com/1668

 

상기의 블로그를 꼭 먼저 읽으신 후에 아래 내용을 읽어 보시길 권합니다.

 

일반적으로 텐서곱은 개별 양자 시스템을 결합해서 더 큰 전체 시스템을 표현하는 수학적 연산으로서 물리적인 개별 큐비트 시스템의 회로 변경과는 무관하다. 상당히 많은 양자 컴퓨팅 저자들이 아무런 근거 없이 불쑥 |0> 과 |1> 의 개별 양자 상태에서 |00>, |10>, |01>, |11> 과 같은 보다 큰 확장된 복잡한 양자 상태를 들이미는데 이는 양자 컴퓨팅을 이해하는 과정에서 상당한 장애가 될 수 있음을 지적헤둔다.

 

다음과 같이 |0> 과 |1> 의 개별 확률 파동함수로 표현되는 양자 상태에서 |00>, |10>, |01>, |11> 과 같은 보다 큰 확장된 복잡한 양자 상태들을 이론적으로 유도하는 텐서 곱 사례를 살펴보자.

 

2개의 큐비트 즉 q1 과 q0 양자 상태들의 텐서 곱 사례에서, 예를 들면 |10> 은 큐비트 q1 이 |1> 이고 q0 가 |0> 인 경우에 해당한다. 다음과 같이 2개의 큐비트 상태를 갖는 확률 파동함수를 고려함에, ket 벡터를 연이어 놓으면 더 이상 아무런 연산이 이루어지지 않으면서 텐서 곱 형태를 그대로 유지한다. 즉 |0> 과 |1> 은 그 이상 분해할 수 없는 기본적인 구성 원소이기 때문이다. 여기서 텐서 곱은 AND 개념 정도로 이해하자.

 

단일 큐비트를 2개 또는 그 이상 결합하여 보다 많은 중첩 상태를 인위적으로 생성함에 텐서 곱 연산이 사용된다. 양자 컴퓨터 개발 초기에 2개의 큐비트를 결합한 Transmon 이 대표적인 사례이다. 예를 들어 |0> 과 |1> 의 양자 상태를 가자는 하나의 큐비트에서 아다마르 연산을 실행하면 앞서와 같이 중첩된 상태를 얻을 수 있다.

qc.h([0, 1]) 명령처럼 큐비트 0 과 큐비트 1에 각각 텐서 곱 형태에 대해서 아다마르 연산을 실행하면 다음과 같이 중첩된 큐비트 상태가 된다. H(0) 와 H(1) 은 각각 0th 큐비트와 1st 큐비트에 대한 아다마르 연산을 뜻한다.

즉 4개의 양자 상태 |00>, |01>, |10>, |11> 가 얻어지는데, 이는 물리적인 초전도 에너지 레벨 상태가 아니라 각 큐비트에서 가능한 에너지 레벨 상태들 |0> 과 |1>의 AND 논리 연산 조합에 의해서 얻어지는 양자 상태들이며, 각 상태의 확률파동 진폭은 (1/2) 이므로 이들의 제곱의 합은 1.0 이 됨을 알 수 있다. 따라서 많은 수의 Transmon을 사용하면서 논리 연산을 적용하면 보다 많은 수의 양자 상태로 이루어진 중첩 상태를 유도해 낼 수 있다.

 

연이어 qc.x(1) 명령처럼 파울리 X 명령을 실행하면 1번 큐비트 자리의 값이 0→1 또는 1→0 으로 반대로 바뀐다.

확률 파동함수 프사이에 관한  ket 벡터가 주어지면 그 공액 복소수 또는 켤레복소수에 해당하는 bra 벡터가 얻어지므로 다음과 같은 braket 내적 연산이 가능하다.

 

매트릭스 기법을 사용한 연산도 동일한 결과를 나타낸다.

 

|00>, |10>, |01>, |11> 과 같은 일종의 복합적인 양자 상태는 초전도체 큐비트를 별도로 회로를 생성하여 만드는 것이 아닌 |0> 과 |1> 과 같은 개별 양자 상태를 처리할 수 있는 T회로를  2개 사용한 T ransmon 과 같은 병렬 양자회로에서 설정가능하다. 즉 물리학적 대상인 초전도체 Transmon  병렬 회로에서 유도된 개념이다.

 

그밖에도 |0> 과 <0|, |0> 과 <1|, |1> 과 |0>, |1> 과 <1| 의 곱을 비롯한 이상한(weird) 연산들이 양자 알고리듬에 나타나므로 그때 그때 설명을 준비하고자 한다.

 

 

 

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