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Bra 벡터와 Ket 벡터와의 곱인 Inner product 편에서 orthonormal 한 특성을 보여주었던 단일 큐비트의 bra 벡터와 ket 벡터 매트릭스 연산의 역과정인 ket 벡터와 bra 벡터의 외적(outer) 연산을 고려해보자. 즉 2x1 열벡터와 1x2 행벡터를 곱하면 다음과 같이 2x2 메트릭스가 얻어진다.
이로부터 Identity 매트릭스가 얻어진다.
2 큐비트 시스템에서 4가지 |00>, |01>, |10>, |11>로 주어지는 기저 상태는 다음과 같이 4x1 열벡터로 나타낼 수 있다.
단일 큐비트나 2 큐비트 시스템에서 외적(Outer Product) 연산은 매트릭스 대각선 요소가 1 인 I(Identity) 행렬이 된다. 이 Identity 매트릭스를 사용하여 임의의 양자 상태 프사이(ψ)를 연산 기저에 의한 성분들의 합으로 분해해 보자.
어떤 양자 상태 ∣ψ⟩가 있을 때, 그 앞에 I 를 곱해도 값은 변하지 않는다 (I∣ψ⟩=∣ψ⟩). 여기에 앞서 유도한 수식을 대입해 사용해 보자.
임의의 양자 상태가 연산 기저 성분을 사용하여 표현됨을 알 수 있다.
2. 확률계산 사례
중첩 상태의 양자상태 측정(Measurement) 시, 특정상태 x가 나올 확률 P(x)는 다음과 같이 계산된다. bra 벡터와 ket 벡터 곱 사이에서 Identity 매트릭스는 아무런 영향을 미치지 않는다는 것을 알 수 있다.
