아두이노 컴퓨팅 연산에서 기본인 HIGH 와 LOW 대신 무엇이 그것을 대체할 것인가? 나도 몰라서 Gemini 에게 물어 본 prompt 이기도 하지만 딸려 나온 Answer를 이해하기란 쉽지 않았다. 그 답은 큐비트(qubit) 즉 quantum bit 양자 상태의 비트를 의미한다.
1개의 전자를 대상으로 큐비트 개념을 도입하는 과정에서 과연 전자를 가지고 큐비트에 대응하는 디지털 “0”과 “1”에 해당하는 개념을 세워볼 수 있을지 검토해 보자.
다음 그림에서 화살표가 표기된 전자의 종류는 2종류이다. 전자에 표시된 화살표는 자기적인 특성이 반대되는 스핀 각운동량을 의미한다. 1960년대 양자역학을 가장 잘 이해했다고 알려진 파인만 교수의 자기장을 통과시키는 전자 실험 결과 2종류의 스핀이 서로 반대되는 전자가 존재함을 재삼 확인하였다. 한편 양성자 주위 궤도에 전자 2개를 가지는 헬리움 가스의 경우 파울리의 배타 원리에 의해 서로 스핀이 반대인 한 쌍만이 들어갈 수 있다는 점도 알려졌다.
결국 서로 반대되는 자기특성을 보여주는 스핀 값이 확정되어 알려진 개개의 전자를 각각 디지털 “0”과 “1”로 볼 수 있을 것이다.
Bra 와 Ket 벡터 내적 연산(Inner Product)
그렇다면 약간 기울어진 오른쪽 그림의 전자 상태는 노벨상 수상자였던 Dirac 교수의 ket 벡터 기호인 |0> , |1> 기저들을 사용하여 다음과 같이 중첩된 경우의 확률 파동함수 프사이를 표현해 보자. 여기서 복소수 계수 α, β 는 각 양자 상태의 확률 진폭을 나타낸다. | > 는 ket 기호이며, bra 기호는 반대 방향 < |로 나타낸다.
이는 다음과 같이 매트릭스 연산으로도 나타낼 수 있다.
여기서 연산 기저(computational basis)인 |0> 과 |1>은 행(column) 벡터로, <0| 과 <1| 은 열(row)벡터로 표현할 수 있다.
이 행렬 형태의 연산 기저(computational basis)를 사용하여 Hilbert 공간에서 braket 내적 연산을 실행하면, 유클리드 공간에서의 단위벡터와 유사하게 다음과 같이 직교(orthonormal) 특성을 만족함을 알 수 있다.
공간상에 존재하는 하나의 전자는 전체 공간에 존재할 확률이 1.0 이기 때문에 확률 파동함수 프사이 를 다음과 같이 양자역학적 연산 처리한다. 아울러 확률 파동함수 프사이는 슈뢰딩거 방정식의 해로서 양자 상태의 파동함수를 나타낸다.
아울러 운동하는 입자의 위치는 확률 파동함수를 사용하여 계산되는 확률밀도 값의 제곱에 비례한다.
즉확률 파동함수에 관한 ket 벡터가 주어지면 그 공액 복소수 또는 켤레복소수에 해당하는 bra 벡터가 얻어지므로 다음과 같은 braket 내적 (inner product) 연산이 가능하다.
매트릭스 기법을 사용한 연산도 동일한 결과를 나타낸다. 특히 bra 벡터는 열 벡터(row vector)로, ket 벡터는 행 벡터(column vector)로 나타낼 수 있다.
이같이 braket 연산은 부분적으로 벡터 내적 연산과 유사한 점이 있으나 일반적으로 힐베르트 공간에서의 연산 법칙으로 알려져 있다.
대표적인 예로서 블로흐 구(Bloch sphere)상에서 각 φ, θ 에 대응하는 한 점에 대한 확률 파동함수 ψ를 다음과 같이 고려하자.
다음과 같이 bra, ket 내적 연산을 실행해 확률밀도의 제곱을 구해 보자.
θ=0 이면 |ψ>=|0> 이며, θ=π 이면 |ψ>=|1>이 된다. 반면에 θ=π/2이면 확률 프사이(ψ)는 다음과 같이 주어진다. 이는 양자 상태 |0>을 아다마르 연산 적용하면 얻어지는 결과이기도 하다.
아울러 확률 파동함수 프사이는 슈뢰딩거 방정식의 해로서 양자 상태 전자의 파동함수를 나타낸다. 전자의 위치는 파동함수로부터 계산되는 확률밀도 |ψ*ψ|=|ψ|**2 에 비례한다.
특히 중첩된 상태가 붕괴되어 |0> 또는 |1> 로 결정이 될 경우 각각 α=1 또는 β=1 이 된다.
이러한 양자 상태는 실험적 관측을 통해서 양자 상태를 붕괴(Colapse) 시켜야만 결과를 확인 할 수 있다. 즉 붕괴 이전에는 중첩(superposition)된 확률 상태에 있으며 붕괴 후 실체 확인이 가능하다는 점이다.
과연 양자 컴퓨팅을 위해 이러한 |0> , |1> 상태를 어떻게 생성할 수 있을까? 그 방법은 초전도 조셉슨 접합 소자에서 마이크로웨이브에 의해 에너지 레벨을 제어하여 |0> , |1> 및 이들의 중첩상태를 생성한다. 예를 들어서 금속 격자 내 자유 전자들은 0K 절대 온도 상태의 초전도 상태에서 Cooper pair 를 형성하여 아무런 전기적 저항이 없이 금속 격자들 공간 사이를 쉽게 이동할 수 있다는 점이다. 보다 상세한 내용은 2개의 큐비트로 이루어진 Transmon 에 관한 본 블로그의 내용을 참조하기 바란다.
아래 김창영 교수님의 영상은 국내에서의 초전도체의 발전 과정 전체와 현재의 양자 컴퓨팅에 직면하게돤 상황에 대해서 일반이 알기 쉬운 강의를 제공하고 있습니다.
https://www.youtube.com/watch?v=MVLmMyBHhoI&t=3051s
아래 영상은 절대 온도 0K 근처에서 초전도체에서 일어나는 Cooper pair 들의 거동을 해설하고 있습니다.
https://www.youtube.com/watch?v=vV6hyderu2Q
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